Question

7．設S_n是數列{a_n}的前n項和，且a₁=-1，$\frac{{a}_{n+1}}{{S}_{n+1}}$=S_n，求數列{a_n}的前n項和S_n=-$\frac{1}{n}$，通項公式a_n=$\left\{\begin{array}{l}{-1}&{n=1}\\{\frac{1}{n（n-1）}}&{n≥2}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 由題意可知：a_n+1=S_n•S_n+1，即S_n+1-S_n=S_n+1S_n，兩邊同除以S_n+1S_n，整理得：$\frac{1}{{S}_{n+1}}$-$\frac{1}{{S}_{n}}$=-1，則{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是首項為-1，公差為-1的等差數列，由等差數列通項公式可知：$\frac{1}{{S}_{n}}$=-1+（n-1）×（-1）=-n，則S_n=-$\frac{1}{n}$；由當n=1時，a₁=S₁=-1，n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{n（n-1）}$．

解答 解：由S_n是數列{a_n}的前n項和，且a₁=-1，$\frac{{a}_{n+1}}{{S}_{n+1}}$=S_n，
∴a_n+1=S_n•S_n+1，
∴S_n+1-S_n=S_n+1S_n，兩邊同除以S_n+1S_n，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n+1}}$=1，即$\frac{1}{{S}_{n+1}}$-$\frac{1}{{S}_{n}}$=-1，
$\frac{1}{{S}_{1}}$=-1，
∴{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是首項為-1，公差為-1的等差數列，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=-1+（n-1）×（-1）=-n．
∴S_n=-$\frac{1}{n}$，
當n=1時，a₁=S₁=-1，
n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=-$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n+1}$=$\frac{1}{n（n-1）}$．
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{-1}&{n=1}\\{\frac{1}{n（n-1）}}&{n≥2}\end{array}\right.$．
故答案為：-$\frac{1}{n}$，$\left\{\begin{array}{l}{-1}&{n=1}\\{\frac{1}{n（n-1）}}&{n≥2}\end{array}\right.$．

點評 本題考查數列的通項公式的求法，考查等差數列通項公式，解題時要認真審題，注意構造法的合理運用．考查計算能力，屬于中檔題，