Question

已知函數f（log_ax）=

a

a-1

（x-

1

x

）（a＞0且a≠1）．
（1）求f（x）解析式并判斷f（x）的奇偶性；
（2）對于（1）中的函數f（x），若?x₁，x₂∈R當x₁＜x₂時都有f（x₁）＜f（x₂）成立，求滿足條件f（1-m）+f（m²-1）＜0的實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用換元法求函數的解析式，利用奇偶性的定義判斷函數的奇偶性．
（2）利用函數的單調性解不等式．

解答：解：（1）令log_ax=t，則x=a^t，
∴f(t)=

a

a-1

(at-

1

at

)
∴f(x)=

a

a-1

(ax-

1

ax

)，x∈R_{-----------------------------------------------}（4分）
因為f(-x)=

a

a-1

(a-x-

1

a-x

)=-f(x)
∴f（x）為奇函數_{-------------------}（6分）
（2）因為?x₁，x₂∈R當x₁＜x₂時都有f（x₁）＜f（x₂）成立，
所以f（x）在R上單調遞增_{------------------------------}（8分）
由f（1-m）+f（m²-1）＜0得f（m²-1）＜-f（1-m），
又f（x）為奇函數，
∴-f（1-m）=f（m-1），即f（m²-1）＜f（m-1），
_{------------------------------}（10分）
由f（x）在R上單調遞增得m²-1＜m-1，
即m²＜m 解得0＜m＜1
故實數m的取值范圍為（0，1）_{------------------------------}（12分）

點評：本題主要考查函數奇偶性的應用以及函數單調性的應用，要求熟練掌握函數的相關性質及應用．