Question

一個橢圓C₁的中心在原點，焦點在x軸上，焦距為2

13

，一雙曲線C₂和橢圓C₁有公共焦點，且雙曲線C₂的實半軸長比橢圓C₁的半長軸長小4，雙曲線C₂的離心率e₂與橢圓C₁離心率e₁之比為7：3，求橢圓C₁和雙曲線C₂的方程．

Answer 1

考點：雙曲線的標準方程,橢圓的標準方程

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：設橢圓、雙曲線的標準方程分別為

x2

a12

+

y2

b12

=1（a₁＞b₁＞0）、

x2

a22

-

y2

b22

=1（a₂＞0，b₂＞0），由題意得

a12-b12=13 a22+b22=13 a1-a2=4 c a2 c a1  = 7 3

，由此能求出橢圓C₁和雙曲線C₂的標準方程．

解答： 解：設橢圓、雙曲線的標準方程分別為

x2

a12

+

y2

b12

=1（a₁＞b₁＞0）、

x2

a22

-

y2

b22

=1（a₂＞0，b₂＞0），
由題意得

a12-b12=13 a22+b22=13 a1-a2=4 c a2 c a1  = 7 3

，
解得a₁=7，a₂=3，b₁=6，b₂=2，
所以橢圓C₁和雙曲線C₂的標準方程分別為

x2

49

+

y2

36

=1和

x2

9

-

y2

4

=1．

點評：本題考查橢圓和雙曲線方程的求法，是中檔題，解題時要注意圓錐曲線的性質的合理運用．