Question

設函數f（x）=-x³+2x²-x（x∈R）
（1）求曲線y=f（x）在點（2，f（x））處的切線方程；
（2）求函數f（x）在區間[0，2]上的最大值與最小值．

Answer 1

考點：利用導數求閉區間上函數的最值,利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：導數的綜合應用

分析：（1）求出曲線y=f（x）的導數，以及點（2，f（x））的坐標，利用點斜式求解切線方程；
（2）利用好的導數，求出極值點，判斷函數的單調性，即可函數f（x）在區間[0，2]上的最大值與最小值．

解答： 解．（1）由條件得：函數的導數f′（x）=-3x²+4x-1，所以 f′（2）=-5．
又f（2）=-2．所以 曲線f（x）在點（2，-2）處的切線方程是y+2=-5（x-2），
整理得  5x+y-8=0    （6分）
（2）由（1）知f'（x）=-3x²+4x-1=-（3x-1）（x-1）．
令f'（x）=0，解得x=

1

3

或x=1．
當x∈[0，2]時，f'（x），f（x）變化情況如下表：

x	0	(0， 1 3 )	1 3	( 1 3 ，1)	1	（1，2）	2
f'（x）		-	0	+	0	-
f（x）	0	遞減	- 4 27	遞增	0	遞減	-2

因此，函數f（x）=-x³+2x²-x，x∈[0，2]的最大值為0，最小值為-2．…（12分）

點評：本題考查函數的導數的應用，閉區間上的最值的求法，切線方程的求法，考查計算能力以及基本知識的應用．