Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左右焦點為F₁，F₂．若橢圓上存在一點P使a²+b²-c²=2abcos（π-∠F₁PF₂），則求該橢圓離心率e的范圍．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：設橢圓的上頂點為B，結合已知和余弦定理可將已知條件可轉化為：橢圓上存在一點P使∠F₁PF₂=120°，進而可得離心率e的范圍．

解答： 解：設橢圓的上頂點為B，
∵橢圓上存在一點P使a²+b²-c²=2abcos（π-∠F₁PF₂），
∴π-∠F₁PF₂=∠BOF₂，
而當P與B重合時，∠F₁PF₂取最大值，此時∠F₁PF₂=120°
故已知條件可轉化為：橢圓上存在一點P使∠F₁PF₂=120°，
即∠F₁BF₂≥120°，
即-1＜

a2+a2-(4c)2

2a2

≤-

1

2

即

3

4

≤

c2

a2

＜1，
即

3

4

≤e2＜1，
解得：e∈[

3

2

，1），
故橢圓離心率的取范圍是[

3

2

，1）．

點評：本題主要考查了橢圓的應用．當P點在短軸的端點時∠F₁PF₂值最大，這個結論可以記住它．在做選擇題和填空題的時候直接拿來解決這一類的問題．