Question

15．已知數列{a_n}的前n項和S${\;}_{n}=A{q}^{n}+B（q≠0）$，則“A=-B“是“數列{a_n}是等比數列”的（　　）

• A． 充分不必要條件
• B． 必要不充分條件
• C． 充要條件
• D． 既不充分也不必要條件

Answer 1

分析 已知{a_n}成為公比不等于1的等比數列，可得出A+B=0，推斷A+B=0是使{a_n}成為公比不等于1的等比數列的必要條件；數列{a_n}前n項和S_n=Aqⁿ+B，A+B=0，得到⇒{a_n}成為公比不等于1的等比數列，可推斷A+B=0是使{a_n}成為公比不等于1的等比數列的充分條件．從而得出正確答案．

解答 解：（1）若{a_n}成為公比不等于1的等比數列，則
Sn=$\frac{{a}_{1}（1{-q}^{n}）}{1-q}$=$\frac{{a}_{1}}{1-q}$-$\frac{{{a}_{1}q}^{n}}{1-q}$，比照S_n=Aqⁿ+B，得
A=$\frac{{a}_{1}}{1-q}$，B=-$\frac{{a}_{1}}{1-q}$故A=-B，
若{a_n}為公比等于1的等比數列，
則：S_n=na₁，比照S_n=Aqⁿ+B，得
A=n，B=0，推不出A≠-B，不是必要條件，
（2）若已知：數列{a_n}前n項和S_n=Aqⁿ+B，A=-B即A+B=0，則
a₁=S₁=Aq+B=A（q-1），
n＞1時 an=Sn-S_n-1=aAqⁿ+B-[Aq^n-1+B]=Aq^n-1（q-1），
⇒{a_n}成為公比不等于1的等比數列．
故A+B=0是使{a_n}成為公比不等于1的等比數列的充分不必要條件．
故選：A．

點評 本小題主要考查必要條件、充分條件與充要條件的判斷、等比數列等基礎知識，考查運算求解能力與轉化思想．屬于基礎題．