Question

3．對任意實數(shù)b及非零實數(shù)a，不等式|2a+b|+|a-b|≥|a|（|2x-1|-|x-2|）恒成立，試求x的取值范圍．

Answer 1

分析 把原不等式變形，得$\frac{{|{2a+b}|+|{a-b}|}}{a}≥|{2x-1}|-|{x-2}|$，求出左邊的最小值，轉(zhuǎn)化為|2x-1|-|x-2|≤3，分類求解得答案．

解答 解：∵a≠0，∴原不等式等價于$\frac{{|{2a+b}|+|{a-b}|}}{a}≥|{2x-1}|-|{x-2}|$，
∵|2a+b|+|a-b|≥|（2a+b）+（a-b）|，當(dāng)且僅當(dāng)（2a+b）（a-b）≥0時取等號，
∴$\frac{|2a+b|+|a-b|}{|a|}≥3$，即$\frac{|2a+b|+|a-b|}{|a|}$的最小值是3．
依題應(yīng)有|2x-1|-|x-2|≤3．
下面解不等式|2x-1|-|x-2|≤3，它等價于
$\left\{\begin{array}{l}{x≥2}\\{（2x-1）-（x-2）≤3}\end{array}\right.$，①
或$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}≤x＜2}\\{（2x-1）+（x-2）≤3}\end{array}\right.$，②
或$\left\{\begin{array}{l}{x＜\frac{1}{2}}\\{1-2x+（x-2）≤3}\end{array}\right.$，③
解①得x=2； 解②得$\frac{1}{2}≤x＜2$； 解③得-4$≤x＜\frac{1}{2}$．
綜上所述知，x的取值范圍是[-4，2]．

點評 本題考查絕對值不等式的解法，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了恒成立問題的求解方法，是中檔題．