Question

4．已知函數f（x）=ax²+bx．
（Ⅰ）若函數f（x）在x=3處的切線與直線24x-y+1=0平行，函數f（x）在x=1處取得極值，求函數f（x）的遞減區間；
（Ⅱ）若a=1，且函數f（x）在[-1，1]上是減函數，求實數b的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先對函數f（x）進行求導，根據 f'（1）=0，f'（3）=24確定函數的解析式，然后令f'（x）＜0求單調遞減區間；
（Ⅱ）把a=1代入函數f（x）后對函數進行求導，由題意可得f′（x）=3x²+b≤0在[-1，1]上恒成立，分離參數b得答案．

解答 解：（Ⅰ）已知函數f（x）=ax³+bx（x∈R），∴f′（x）=3ax²+b，
又函數f（x）圖象在點x=3處的切線與直線24x-y+1=0平行，
且函數f（x）在x=1處取得極值，∴f′（3）=27a+b=24，
且f′（1）=3a+b=0，解得a=1，b=-3，
∴f（x）=x³-3x．
令f′（x）=3x²-3≤0，得-1≤x≤1，
∴函數的單調遞減區間為[-1，1]
（Ⅱ）當a=1時，f（x）=x³+bx（x∈R），又函數f（x）在[-1，1]上是減函數，
∴f′（x）=3x²+b≤0在[-1，1]上恒成立．
即b≤-3x²在[-1，1]上恒成立，∴b≤-3．

點評 本題考查利用導數研究過曲線上某點處的切線方程，考查了利用導數研究函數的單調性，屬中檔題．