Question

12．已知0＜x＜2，則$\frac{1}{x}$+$\frac{9}{2-x}$的最小值為（　　）

• A． 8
• B． 2
• C． 10
• D． 6

Answer 1

分析 0＜x＜2，f（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{9}{2-x}$，利用導數研究函數的單調性極值與最值即可得出．

解答 解：∵0＜x＜2，f（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{9}{2-x}$，
f′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{0-9×（-1）}{（2-x）^{2}}$=$\frac{9{x}^{2}-（2-x）^{2}}{{x}^{2}（2-x）^{2}}$=$\frac{8（x+1）（x-\frac{1}{2}）}{（2x-{x}^{2}）^{2}}$．
∴當x=$\frac{1}{2}$時，f（x）取得最小值$f（\frac{1}{2}）$=2+6=8．
故選：A．

點評 本題考查了利用導數研究函數的單調性極值與最值，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．