Question

【題目】已知等差數(shù)列{an}滿足an+1＞an ， a1=1，且該數(shù)列的前三項(xiàng)分別加上1，1，3后順次成為等比數(shù)列{bn}的前三項(xiàng)．
（1）求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；
（2）令cn=anbn ， 求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)d、q分別為數(shù)列{an}、{bn}的公差與公比．

由題意知，a1=1，a2=1+d，a3=1+2d，分別加上1，1，3后

得2，2+d，4+2d是等比數(shù)列{bn}的前三項(xiàng)，

∴（2+d）2=2（4+2 d），解得：d=±2．

又∵an+1＞an，∴d＞0，∴d=2，

∴an=2n﹣1（n∈N*），

由此可得b1=2，b2=4，q=2，

∴bn=2n（n∈N*）

（2）解：由（1）可得cn=anbn=（2n﹣1）2n，

∴前n項(xiàng)和Sn=12+322+523+…+（2n﹣1）2n，

∴2Sn=122+323+524+…+（2n﹣1）2n+1，

相減得﹣Sn=2+2（22+23+…+2n）﹣（2n﹣1）2n+1，

=2+2 ﹣（2n﹣1）2n+1，

化簡(jiǎn)可得Sn=（2n﹣3）2n+1+6

【解析】（1）設(shè)d、q分別為數(shù)列{an}、{bn}的公差與公比．由a1=1，a2=1+d，a3=1+2d，分別加上1，1，3后得2，2+d，4+2d是等比數(shù)列{bn}的前三項(xiàng)，可得關(guān)于d的方程，解出d，可得an ， 進(jìn)而可得b1 ， b2 ， 公比q，故可得bn；（2）由（1）表示出cn ， 利用錯(cuò)位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，可求得Sn ．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解數(shù)列的前n項(xiàng)和的相關(guān)知識(shí)，掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系，以及對(duì)數(shù)列的通項(xiàng)公式的理解，了解如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．