Question

【題目】已知定義域為R的奇函數f（x）滿足f（log2x）= ．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）判斷并證明f（x）在定義域 R的單調性；
（3）若對任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（3t2﹣k）＜0恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（log2x）= ，∴令t=log2x，

則x=2t，代入原式中：f（t）= ，則f（x）= ，

又∵f（x）在R上是奇函數，∴f（0）=0，解得a=1．

則f（x）=

（2）解：由（1）知 ，

設x1＜x2，則f（x1）﹣f（x2）= = ．

∵函數y=2x在R上是增函數且x1＜x2，

∴ ﹣ ＞0．

又（ +1）（ +1）＞0，

∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）．

∴f（x）在（﹣∞，+∞）上為減函數

（3）解：∵f（x）是奇函數，

從而不等式：f（t2﹣2t）+f（3t2﹣k）＜0等價于f（t2﹣2t）＜﹣f（3t2﹣k）=f（k﹣3t2），

∵f（x）為減函數，由上式推得：t2﹣2t＞k﹣3t2．

即對一切t∈[1，2]有：4t2﹣2t﹣k＞0，k＜4t2﹣2t，

當t=1時最小，則{k|k＜2}

【解析】（1）由已知利用換元法求得函數解析式；（2）直接利用函數單調性的定義證明；（3）由（2）結合函數的奇偶性把不等式f（t2﹣2t）+f（3t2﹣k）＜0恒成立轉化為t2﹣2t＞k﹣3t2 ． 分離k后求出函數4t2﹣2t的值域得答案．
【考點精析】通過靈活運用函數單調性的判斷方法，掌握單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較即可以解答此題．