Question

10．已知函數f（x）=$\frac{{e}^{x}}{a{x}^{2}+bx+c}$，其中a，b，c∈R．
（1）若a=b=c=1，求f（x）的單調區間；
（2）若b=c=1，且當x≥0時，f（x）≥1恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）若a=1，b=1，c=1，求導數，利用導數的正負，求f（x）的單調區間；
（2）若b=c=1，且當x≥0時，f（x）≥1總成立，先確定a≥0，在分類討論，確定函數的最小值，即可求實數a的取值范圍；

解答 解：（1）a=1，b=1，c=1，f′（x）=$\frac{{e}^{x}{（x}^{2}-x）}{{{（x}^{2}+x+1）}^{2}}$，
∴0＜x＜1，f′（x）＜0，x＜0或x＞1時，f′（x）＞0，
∴函數的單調減區間是（0，1），單調增區間是（-∞，0），（1，+∞）；
（2）若b=c=1，且當x≥0時，f（x）≥1總成立，則a≥0．
a=0，f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x+1}$，f′（x）=$\frac{{xe}^{x}}{{（x+1）}^{2}}$≥0，
∴f（x）_min=f（0）=1；
a＞0，f′（x）=$\frac{{e}^{x}•ax•（x+\frac{1-2a}{a}）}{{（{ax}^{2}+x+1）}^{2}}$，
0＜a≤$\frac{1}{2}$，f（x）_min=f（0）=1；a≥$\frac{1}{2}$，f（x）在[0，$\frac{2a-1}{a}$]上為減函數，
在[$\frac{2a-1}{a}$，+∞）上為增函數，
f（x）_min＜f（0）=1，不成立，
綜上所述，0≤a≤$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查導數知識的綜合運用，考查函數的單調性、最值問題，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題