Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，側棱面，.

（1）若是的中點，求與所成的角；

（2）設是上一點，過的平面將四棱柱分成體積相等的兩部分，求.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）設菱形的邊長為單位1，則.取的中點，連接.可得（或其補角）就是與所成的角.在中求出這個角即可；

（2）作出過的平面與側面的交線為.可證得，設，，多面體的體積等于三棱錐與四棱錐的體積之和，由此求得，可得．

設菱形的邊長為單位1，則.

（1）取的中點，連接.

∵是是中點，∴，，，（或其補角）就是與所成的角.

∵面，∴面，而面，∴.

在中，因為，，

所以，即.

從而在中，，故.

∴異面直線與所成的角的60°.

（2）如圖，設過的平面與側面的交線為.

∵，不在平面內，∴面，∴，于是.

連接，，，設，，

則直角梯形中，，其面積.

過在平面內作，是垂足，在等邊三角形中，.

∵面，∴，得面，

多面體的體積

，

∴，（舍去大于1的）.

由，得.