【題目】已知函數
.
（1）若函數
在
上為增函數，求
的取值范圍；
（2）若函數
有兩個不同的極值點，記作
，
，且
，證明：
（
為自然對數）.
【答案】（1）
（2）見解析
【解析】
分析：（1）由題意可知，函數
的定義域為
，
，因為函數在
為增函數，所以
在上恒成立，等價于
，
由此可求
的取值范圍；
（2）求出
，因為
有兩極值點
，所以
，
設令
，則
，上式等價于要證
，令
，根據函數的單調性證出即可．
詳解：
（1）由題意可知，函數的定義域為，
，
因為函數在為增函數，所以在上恒成立，
等價于
在上恒成立，即，
因為
，所以，
故的取值范圍為.
（2）可知
，
所以，
因為有兩極值點，所以，
欲證
，等價于要證：
，即
，
所以
，因為
，所以原式等價于要證明：
，①
由，可得
，則有
，②
由①②原式等價于要證明：
，即證
，
令，則，上式等價于要證，
令，則
因為，所以
，所以
在
上單調遞增，
因此當時，
，即.
所以原不等式成立，即.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某工廠生產甲、乙兩種產品所得利潤分別為
和
（萬元），它們與投入資金
（萬元）的關系有如下公式：
，
，今將200萬元資金投入生產甲、乙兩種產品，并要求對甲、乙兩種產品的投入資金都不低于25萬元.
（Ⅰ）設對乙種產品投入資金
（萬元），求總利潤
（萬元）關于的函數關系式及其定義域；
（Ⅱ）如何分配投入資金，才能使總利潤最大，并求出最大總利潤.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，已知點
，拋物線
的焦點為
，設
為拋物線
上異于頂點的動點，直線
交拋物線于另一點
，連結
，
，并延長，分別交拋物線與點
，
.
（1）當
軸時，求直線
與
軸的交點的坐標；
（2）設直線
，的斜率分別為
，
，試探索
是否為定值？若是，求出此定值；若不是，試說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知
，
，對任意
，有
成立.
（1）求
的通項公式；
（2）設
，
，
是數列
的前
項和，求正整數
，使得對任意，
恒成立；
（3）設
，
是數列
的前項和，若對任意均有
恒成立，求
的最小值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】選修4—4：坐標系與參數方程
已知曲線
的參數方程為
（
為參數），以平面直角坐標系
的原點
為極點，
軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線
的極坐標方程為
．
（Ⅰ）求曲線的直角坐標方程及曲線上的動點
到坐標原點的距離
的最大值；
（Ⅱ）若曲線與曲線相交于
，
兩點，且與軸相交于點
，求
的值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC， 
.點D，E，N分別為棱PA，PC，BC的中點，M是線段AD的中點，PA=AC=4，AB=2.
（Ⅰ）求證：MN∥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角C-EM-N的正弦值；
（Ⅲ）已知點H在棱PA上，且直線NH與直線BE所成角的余弦值為
，求線段AH的長.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖所示，某小區為美化環境，準備在小區內的草坪的一側修建一條直路OC，另一側修建一條休閑大道.休閑大道的前一段OD是函數
的圖象的一部分，后一段DBC是函數
的圖象，圖象的最高點為
，且
，垂足為點F.
（1）求函數
的解析式；
（2）若在草坪內修建如圖所示的矩形兒童樂園PMFE，點P在曲線OD上，其橫坐標為
，點E在OC上，求兒童樂園的面積.
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