Question

12．已知等差數列{a_n}滿足：$\frac{{{a_{11}}}}{{{a_{10}}}}＜-1$，且它的前n項和S_n有最大值，則當S_n取到最小正值時，n=19．

Answer 1

分析 根據題意判斷出d＜0、a₁₀＞0＞a₁₁、a₁₀+a₁₁＜0，利用前n項和公式和性質判斷出S₂₀＜0、S₁₉＞0，再利用數列的單調性判斷出當S_n取的最小正值時n的值．

解答 解：由題意知，S_n有最大值，所以d＜0，
由$\frac{{{a_{11}}}}{{{a_{10}}}}＜-1$，所以a₁₀＞0＞a₁₁，
且a₁₀+a₁₁＜0，
所以S₂₀=10（a₁+a₂₀）=10（a₁₀+a₁₁）＜0，
則S₁₉=19a₁₀＞0，
又a₁＞a₂＞…＞a₁₀＞0＞a₁₁＞a₁₂
所以S₁₀＞S₉＞…＞S₂＞S₁＞0，S₁₀＞S₁₁＞…＞S₁₉＞0＞S₂₀＞S₂₁
又S₁₉-S₁=a₂+a₃+…+a₁₉=9（a₁₀+a₁₁）＜0，
所以S₁₉為最小正值．
故答案為：10．

點評 本題考查了等差數列的性質、前n項和公式以及S_n最值問題，要求S_n取得最小正值時n的值，關鍵是要找出什么時候a_n+1小于0且a_n大于0．