Question

1．已知k＞0，且不等式$\left\{\begin{array}{l}{x≤0}\\{y≥0}\\{y≤kx+2}\end{array}\right.$表示的平面區域的面積為S，則（k-2）S²的最大值等于$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 作出不等式組對應的平面區域，求出交點坐標，計算出三角形的面積，轉化為一元二次函數，利用一元二次函數的性質進行求解即可．

解答 解：作出不等式組對應的平面區域如圖，
∵k＞0，∴當y=0時，x=-$\frac{2}{k}$，即B（-$\frac{2}{k}$，0），
當x=0時，y=2，即A（0，2），
則三角形的面積S=$\frac{1}{2}×$$\frac{2}{k}$×2=$\frac{2}{k}$，
則（k-2）S²=（k-2）（$\frac{2}{k}$）²=$\frac{4k-8}{{k}^{2}}$=-8（$\frac{1}{k}$）²+$\frac{4}{k}$=-8（$\frac{1}{k}$-$\frac{1}{4}$）²+$\frac{1}{2}$，
∵k＞0，∴$\frac{1}{k}$＞0，
則當$\frac{1}{k}$=-$\frac{1}{4}$時，（k-2）S²取得最大值，最大值為$\frac{1}{2}$，
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點評 本題主要考查函數最值的求解，結合線性規劃以及一元二次函數的性質是解決本題的關鍵．