Question

17．已知向量$\overrightarrow{m}$=（2sinA，1），$\overrightarrow{n}$=（sinA+$\sqrt{3}$cosA，-3），$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$，其中A是△ABC的內角．
（1）求角A的大小；
（2）設△ABC的角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，D為BC邊中點，若a=4，AD=2$\sqrt{3}$，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）由題意可得 $\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=0，求得sin（2A-$\frac{π}{6}$）=1，可得A的值．
（2）由題意可得 2$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$，化簡可得：b²+c²+bc=48 …①．又$\overrightarrow{CB}$=$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$，化簡可得b²+c²-bc=16 …②，由①、②求得bc=16，由此可得△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$bc•sinA 的值．

解答 解：（1）△ABC中，∵$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$，
∴$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=（2sinA，1）•（sinA+$\sqrt{3}$cosA，-3）
=2sinA•（sinA+$\sqrt{3}$cosA）-3
=2sin²A+2$\sqrt{3}$sinAcosA-3=$\sqrt{3}$sin2A-cos2A-2=0，
即：sin（2A-$\frac{π}{6}$）=1，∴A=$\frac{π}{3}$．
（2）因為D為BC邊中點，∴2$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$，
平方得：4$\overrightarrow{AD}$²=${\overrightarrow{AB}}^{2}$+$\overrightarrow{AC}$²+2$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$，
即：b²+c²+bc=48  …①．
又$\overrightarrow{CB}$=$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$，∴${\overrightarrow{CB}}^{2}$=${\overrightarrow{AB}}^{2}$+$\overrightarrow{AC}$²-2$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$，
即：：b²+c²-bc=16  …②，
由①-②可得：2bc=32，
故△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$bc•sinA=$\frac{1}{2}•16•\frac{\sqrt{3}}{2}$=4$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查兩個向量的數量積公式，兩個向量的加減法及其幾何意義，屬于中檔題．