Question

8．設雙曲線$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{6}=1$的左右焦點分別為F₁，F₂，過F₁的直線l交雙曲線左支于A，B兩點，則|AF₂|+|BF₂|的最小值等于16．

Answer 1

分析 根據雙曲線的標準方程可得：a=3，b=$\sqrt{6}$，再由雙曲線的定義可得：|AF₂|-|AF₁|=2a=6，|BF₂|-|BF₁|=2a=6，所以得到|AF₂|+|BF₂|-（|AF₁|+|BF₁|）=12，再根據A、B兩點的位置特征得到答案．

解答 解：根據雙曲線$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{6}=1$，得：a=3，b=$\sqrt{6}$，
由雙曲線的定義可得：|AF₂|-|AF₁|=2a=6…①，
|BF₂|-|BF₁|=2a=6…②，
①+②可得：|AF₂|+|BF₂|-（|AF₁|+|BF₁|）=12，
∵過雙曲線的左焦點F₁的直線交雙曲線的左支于A，B兩點，
∴|AF₁|+|BF₁|=|AB|，當|AB|是雙曲線的通徑時|AB|最小．
∴|AF₂|+|BF₂|-（|AF₁|+|BF₁|）=|AF₂|+|BF₂|-|AB|=12．
|BF₂|+|AF₂|=|AB|+12≥$\frac{2{b}^{2}}{a}$+12=$\frac{2×6}{3}$+12=16．
故答案為：16．

點評 本題考查兩條線段和的最小值的求法，是中檔題，解題時要注意雙曲線的簡單性質的合理運用．