Question

7．某市教育局為了了解高三學生體育達標情況，對全市高三學生進行了體能測試，經分析，全市學生體能測試成績X服從正態分布N（80，σ²）（滿分為100分），已知P（X＜75）=0.3，P（X≥95）=0.1，現從該市高三學生中隨機抽取3位同學．
（1）求抽取的三位同學該次體能測試成績在區間[80，85），[85，95），[95，100）各有一位同學的概率；
（2）記抽到的3位同學該次體能測試成績在區間[75，85]內的人數為ξ，求隨機變量ξ的分布列和數學期望E（ξ）．

Answer 1

分析 （1）由已知得P（80≤X＜85）=1-P（X≤75）=0.2，P（85≤x＜95）=0.3-0.1=0.2，由此能求出抽到的三位同學該次體能測試成績在區間[80，85），[85，95），[95，100]各有一位同學的概率．
（2）P（75≤X≤85）=1-2P（X＜75）=0.4，從而ξ服從二項分布B（3，0.4），由此能求出隨機變量ξ的分布列和數學期望Eξ．

解答 解：（1）$P（80≤X＜85）=\frac{1}{2}-P（X＜75）=0.2$…（2分）P（85≤X＜95）=0.3-0.1=0.2，P（95≤X＜100）=0.1，…（4分）
所以所求概率為 $P=A_3^3×0.2×0.2×0.1=0.024$…（6分）
（2）ξ的可能值為0，1，2，3．則$P（ξ=k）=C_3^k{（0.4）^k}{（0.6）^{3-k}}，k=0，1，2，3$．，
$P（ξ=0）=C_3^0{（0.4）^0}{（0.6）^3}=0.216$，
$P（ξ=1）=C_3^1{（0.4）^1}{（0.6）^2}=0.432$，
$P（ξ=2）=C_3^2{（0.4）^2}{（0.6）^1}=0.288$，
$P（ξ=3）=C_3^3{（0.4）^3}{（0.6）^0}=0.064$

ξ	0	1	2	3
P	0.216	0.432	0.288	0.064

E（ξ）=0×0.216+1×0.432+2×0.288+3×0.064=1.2…（12分）

點評 本題考查正態分布的性質，及離散型隨機變量的數學期望計算，是中檔題．