Question

11．雙曲線焦點在坐標軸上，兩條漸近線方程為2x±y=0，那么它的離心率是$\sqrt{5}$或$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 雙曲線的焦點在x軸時，由漸近線方程可得b=2a，離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}+^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1+\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$，當雙曲線的焦點在y軸時，可得a=2b，同理即可求得焦點在y上的雙曲線的離心率．

解答 解：當雙曲線的焦點在x軸時，漸近線為y=±$\frac{a}$x=±2x，即$\frac{a}$=2，
變形可得b=2a，可得離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}+^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1+\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{5}$，
當雙曲線的焦點在y軸時，漸近線為y=±$\frac{a}$x=±2x，即$\frac{a}$=2，
變形可得a=2b，可得離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}+^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1+\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴雙曲線的離心率為：$\sqrt{5}$或$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故答案為：$\sqrt{5}$或$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

點評 本題考查雙曲線的離心率，涉及雙曲線的漸近線，和分類討論的思想，屬中檔題．