Question

6．已知函數f（x）=|$\frac{1}{x}$-1|，其中x＞0
（1）求f（x）的單調區間；
（2）是否存在實數a，b （ 0＜a＜b ），使得函數f（x）的定義域和值域都是[a，b]若存在，請求出a，b的值；若不存在，請說明理由；
（3）若存在實數a，b （ 0＜a＜b ），使得函數f（x）的定義域是[0，b]，值域是[ma，mb]（ m≠0 ），求實數 m的范圍．

Answer 1

分析 （1）去絕對值依據圖象求解；
（2）（3）問都是根據函數的單調性、定義域、值域的關系，轉化為根的分布求解．

解答 解：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1-\frac{1}{x}…（x＞1）}\\{\frac{1}{x}-1…（0＜x＜1）}\end{array}\right.$
（1））．∵0＜x＜1時，f（x）遞減，x＞1時，f（x）遞增
f（x）的單調減區間：（0，1），單調增區間：（1，+∞）；
（2）．由函數圖象知，0＜x＜1時，f（x）遞減，x＞1時，f（x）遞增
∴有兩種可能情況：0＜a＜1＜b或1＜a＜b
當0＜a＜1＜b時，因f（1）=0，故值域為[0，b]，與值域為[a，b]相矛盾（a＞0）
當1＜a＜b時，由圖象知，f（a）＜1　f（b）＜1
另一方面，由y=f（x）的定義域和值域都是[a，b]得：$1-\frac{1}{a}=a$，$1-\frac{1}=b$
∴a，b是方程1-$\frac{1}{x}$=x的兩個大于1的實根，又因為方程程1-$\frac{1}{x}$=x沒有兩個大于1的實根，
所以不存在實數a，b （ 0＜a＜b ），使得函數f（x）的定義域和值域都是[a，b]；
（3）∵函數f（x）的值域為[0，+∞）∴m＞0，ma＞mb，∴1＜a＜b，
要使函數f（x）的定義域是[a，b]，值域是[ma，mb]，則$1-\frac{1}{a}=ma，1-\frac{1}=mb$，
即方程$1-\frac{1}{x}=mx$有兩個大于1的實根，
方程mx²-x+1=0有兩個大于1的不等實根，$\left\{\begin{array}{l}{△=1-4m＞0}\\{m-1+1＞0}\\{\frac{1}{2m}＞1}\end{array}\right.$⇒0＜m＜$\frac{1}{4}$
所以實數的取值范圍為（0，$\frac{1}{4}$）．

點評 本題實際上是考查了分段函數的圖象與性質，及一元二次方程根的分布，屬于中檔題．