Question

【題目】對于函數，若存在實數，使得為上的奇函數，則稱是位差值為的“位差奇函數”.

（1）判斷函數和是否為位差奇函數？說明理由；

（2）若是位差值為的位差奇函數，求的值；

（3）若對任意屬于區間中的都不是位差奇函數，求實數、滿足的條件.

Answer 1

【答案】（1）是位差奇函數，詳見解析不是位差奇函數；（2），；（3），.

【解析】

（1）根據“位差奇函數”的定義．考查f（x+m）﹣f（m）=2x,和h（x）＝g（x+m）﹣g（m）＝2x+m﹣2m＝2m（2x﹣1）是否為奇函數即可，

（2）依題意，是奇函數，求出φ；

（3）記h（x）＝f（x+m）﹣f（m）＝（x+m）3+b（x+m）2+c（x+m）﹣m3﹣bm2﹣cm＝x3+（3m+b）x2+（3m2+2bm+c）x．假設h（x）是奇函數，則3m+b＝0，此時．故要使h（x）不是奇函數，必須且只需．

（1）對于f（x）＝2x+1，f（x+m）﹣f（m）＝2（x+m）+1﹣（2m+1）＝2x，

∴對任意實數m，f（x+m）﹣f（m）是奇函數，

即f（x）是位差值為任意實數m的“位差奇函數”；

對于g（x）＝2x，記h（x）＝g（x+m）﹣g（m）＝2x+m﹣2m＝2m（2x﹣1），

由h（x）+h（﹣x）＝2m（2x﹣1）+2m（2﹣x﹣1）＝0，當且僅當x＝0等式成立，

∴對任意實數m，g（x+m）﹣g（m）都不是奇函數，則g（x）不是“位差奇函數”；

（2）依題意，是奇函數，

∴（k∈Z）．

（3）記h（x）＝f（x+m）﹣f（m）＝（x+m）3+b（x+m）2+c（x+m）﹣m3﹣bm2﹣cm

＝x3+（3m+b）x2+（3m2+2bm+c）x．

依題意，h（x）對任意都不是奇函數，

若h（x）是奇函數，則3m+b＝0，此時．

故要使h（x）不是奇函數，必須且只需，且c∈R．