Question

12．已知函數$f（x）=\frac{{{m^2}x}}{{{x^2}-m}}$，且m≠0．
（Ⅰ）當m=1時，求曲線y=f（x）在點（0，0）處的切線方程；
（Ⅱ）求函數f（x）的單調區間；
（Ⅲ）若函數f（x）有最值，寫出m的取值范圍．（只需寫出結論）

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數的導數，計算f′（0）的值，求出切線方程即可；
（Ⅱ）求出函數的導數，通過討論m的范圍，求出函數的單調區間即可；
（Ⅲ）由（Ⅱ）判斷m的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）m=1時，f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}-1}$，
f′（x）=$\frac{{-x}^{2}-1}{{{（x}^{2}-1）}^{2}}$，故f′（0）=-1，
故切線方程是：y-0=-（x-0），
即x+y=0；
（Ⅱ）f′（x）=$\frac{{m}^{2}（{-x}^{2}-m）}{{{（x}^{2}-m）}^{2}}$，
①-m＞0即m＜0時，
令f′（x）＞0，解得：-$\sqrt{-m}$＜x＜$\sqrt{-m}$，
令f′（x）＜0，解得：x＞$\sqrt{-m}$或x＜-$\sqrt{-m}$，
故f（x）在（-∞，-$\sqrt{-m}$）遞減，在（-$\sqrt{-m}$，$\sqrt{-m}$）遞增，在（$\sqrt{-m}$，+∞）遞減；
②-m＜0，即m＞0時，
f′（x）＜0在R恒成立，
故f（x）在（-∞，$\sqrt{m}$），（$\sqrt{m}$，+∞）遞減；
（Ⅲ）由（Ⅱ）得m＜0．

點評 本題考查了函數的單調性問題，考查求切線方程，是一道中檔題．