Question

1．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且短軸長為2，F₁，F₂是左右焦點，O為坐標原點．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）圓O是以F₁，F₂為直徑的圓，直線l：y=kx+m與圓O相切，且與橢圓交于A，B兩點，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=$\frac{2}{3}$，求k的值．

Answer 1

分析 （1）短軸長2b=2，即b=1，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，a²=b²+c²，解得：a=$\sqrt{2}$，b=1，即可求得橢圓的標準方程；
（2）以F₁，F₂為直徑的圓，x²+y²=1，由直線l：y=kx+m與圓O相切，則$\frac{丨m丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，即m²=1+k²，將直線l代入橢圓方程，利用韋達定理及向量數量積的坐標運算即可求得：$\frac{1+{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{2}{3}$，即可求得k的值．

解答 解：（1）橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）焦點在x軸上，短軸長2b=2，即b=1，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
又a²=b²+c²，解得：a=$\sqrt{2}$，b=1，
∴橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）由（1）可知：丨F₁F₂丨=2c=2，則以F₁，F₂為直徑的圓，x²+y²=1，
由直線l：y=kx+m與圓O相切，則$\frac{丨m丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，即m²=1+k²，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去y得，（1+2k²）x²+4mkx+2m²-2=0，
由直線與橢圓有兩個不同的交點，
即有△＞0，即（4km）²-4（1+2k²）（2m²-2）＞0，
解得：k²＞0，
又x₁+x₂=-$\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{m}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=$\frac{1-{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，
則$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=$\frac{2{m}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$+$\frac{1-{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{1+{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{2}{3}$，解得：k=±1．
∴k的值±1．

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質，考查直線與橢圓的位置關系，考查向量數量積的坐標運算，韋達定理的應用，考查計算能力，屬于中檔題．