Question

【題目】如圖，在四棱錐中，，平面，底面為正方形，且.若四棱錐的每個頂點都在球的球面上，則球的表面積的最小值為_____；當四棱錐的體積取得最大值時，二面角的正切值為_______.

Answer 1

【答案】

【解析】

(1)．要求球的表面積的最小值，需求出球的表面積的算式，為此又需求出球的半徑，從而根據算式的特點，用函數的單調性或不等式求出最小值．

(2)．列出四棱錐的體積的算式，求出體積取得最大值時變量的取值，從而求出二面角的正切值．

(1)．設，則.∵平面，

∴，又，

∴平面，

則四棱錐可補形成一個長方體，球的球心為的中點，

從而球的表面積為.

(2)．四棱錐的體積，

則，當時，；當時，.

故，此時，.

過作于，連接，

則為二面角的平面角.

∵，∴.