Question

【題目】某生態農場有一矩形地塊，地塊內有一半圓形池塘（如圖所示），其中百米，百米，半圓形池塘的半徑為1百米，圓心與線段的中點重合，半圓與的左側交點為.該農場計劃分別在和上各選一點，修建道路，要求與半圓相切.

（1）若，求該道路的總長；

（2）若為觀光道路，修建費用是4萬元/百米，為便道，修建費用是1萬元/百米，求修建觀光道路與便道的總費用的最小值.

Answer 1

【答案】（1）百米；（2）萬元.

【解析】

（1）利用圖中邊角關系，分別計算出，的長度，相加即可；

（2）設，得的取值范圍是，可得修建觀光道路與便道的總費用，利用導數求其最值即可.

（1）因為，所以.

而,

所以.

答：道路的總長為百米.

（2）設.

若點與點重合，則；

若點與點重合，則，

所以由題意，的取值范圍是.

設切點為，連結.

則.

設修建觀光道路與便道的總費用為萬元，則

.

設，

則.

令，得，令，且.

列表如下：

	-	0	+
	↘	極小值	↗

所以當時，取得最小值.

所以.

答：修建觀光道路與便道的總費用的最小值為萬元.