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【題目】在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且acosC＝（2b﹣c）cosA.

（1）若3，求△ABC的面積；

（2）若∠B＜∠C，求2cos2B+cos2C的取值范圍.

【答案】（1）（2）（，）.

【解析】

（1）利用正弦定理可求角A，結合數量積3，可求△ABC的面積；

（2）結合角之間的關系，把2cos2B+cos2C化簡為，然后結合角的范圍可求.

（1）∵acosC＝（2b﹣c）cosA，

∴由正弦定理可得sinAcosC＝（2sinB﹣sinC）cosA，可得sinAcosC+sinCcosA＝sin（A+C）＝sinB＝2sinBcosA，

∵B為三角形內角，sinB≠0，

∴cosA，

又∵A∈（0，π），

∴A，

∵bccosAbc＝3，可得bc＝6，

∴S△ABCbcsinA.

（2）∵∠B＜∠C，CB，可得B∈（0，），

∴2B∈（，），

∴cos（2B）∈（，），

∴2cos2B+cos2C＝1+cos2Bcos2Bcos2（B）cos2Bcos2Bsin2Bcos（2B）∈（，）.

∴2cos2B+cos2C的取值范圍（，）.

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（2）監管部門規定每種規格鋼管的“口徑誤差”的計算方式為：若鋼管的內外兩個口徑實際長分別為，標準長分別為，則“口徑誤差”為，按行業生產標準，其中“一級品”“二級品”“合格品”的“口徑誤差”的范圍分別是（正品鋼管中沒有“口徑誤差”大于的鋼管），現分別從甲、乙兩種產品的正品中各隨機抽取100根，分別進行“口徑誤差”的檢測，統計后，繪制其頻率分布直方圖如圖所示：

　　　　甲種鋼管　　　　　　　　　　　　　　　乙種鋼管

已知經銷商經銷甲種鋼管，其中“一級品”的利潤率為0.3，“二級品”的利潤率為0.18，“合格品”的利潤率為0.1；經銷乙種鋼管，其中“一級品”的利潤率為0.25，“二級品”的利潤率為0.15，“合格品”的利潤率為0.08，若視頻率為概率.

（ⅰ）若經銷商對甲、乙兩種鋼管各進了100萬元的貨，和分別表示經銷甲、乙兩種鋼管所獲得的利潤，求和的數學期望和方差，并由此分析經銷商經銷兩種鋼管的利弊；

（ⅱ）若經銷商計劃對甲、乙兩種鋼管總共進100萬元的貨，則分別在甲、乙兩種鋼管上進貨多少萬元時，可使得所獲利潤的方差和最小？

附：若隨機變量服從正態分布，則，，，.

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