Question

10．已知e是自然對數的底數，若函數f（x）=e^x-x+a的圖象始終在x軸的上方，則實數a的取值范圍（　　）

• A． （-1，+∞）
• B． （-∞，-1）
• C． [-1，+∞）
• D． （-∞，-1]

Answer 1

分析 將問題轉化為f（x）=e^x-x+a＞0對一切實數x恒成立，求出函數的導數f′（x），利用導數判斷函數的單調性，求出最小值，最小值大于0時a的范圍，即a的取值范圍．

解答 解：∵函數f（x）=e^x-x+a的圖象始終在x軸的上方，
∴f（x）=e^x-x+a＞0對一切實數x恒成立，
∴f（x）_min＞0，
∵f′（x）=e^x-1，
令f′（x）=0，求得x=0，
當x＜0時，f′（x）＜0，則f（x）在（-∞，0）上單調遞減，
當x＞0時，f′（x）＞0，則f（x）在（0，+∞）上單調遞增，
∴當x=0時，f（x）取得極小值即最小值為f（0）=1+a，
∴1+a＞0，
∴a＞-1，
∴實數a的取值范圍為（-1，+∞），
故選：A．

點評 本題考查了利用導數研究函數的單調性，注意導數的正負對應著函數的單調性．考查了函數的恒成立問題，對于函數的恒成立問題，一般選用參變量分離法、最值法、數形結合法進行求解．本題考查了利用導數研究函數在閉區間上的最值，一般是求出導函數對應方程的根，然后求出跟對應的函數值，區間端點的函數值，然后比較大小即可得到函數在閉區間上的最值．屬于中檔題．