Question

19．已知函數f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$ax²+bx在區間[-1，1）、（1，3]內各有一個極值點，則a-4b的取值范圍是（-16，10]．

Answer 1

分析 求導函數，利用f（x）的兩個極值點分別是x₁，x₂，x₁∈[-1，1），x₂∈（1，3]，建立不等式，利用平面區域，即可求a-4b的取值范圍．

解答 解：由題意，f′（x）=x²+ax+b，
∵f（x）的兩個極值點分別是x₁，x₂，
x₁∈（-1，1），x₂∈（1，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{f′（-1）=1-a+b＞0}\\{f′（1）=1+a+b＜0}\\{f′（3）=9+3a+b＞0}\end{array}\right.$，
對應的平面區域如圖所示：

令z=a-4b，得：b=$\frac{1}{4}$a-$\frac{1}{4}$z，
平移直線b=b=$\frac{1}{4}$a-$\frac{1}{4}$z，
顯然直線過A（-4，3）時，z最小，最小值是-16，
過B（-2，-3）時，z最大，最大值是10，
故答案為：（-16，10]．

點評 本題考查導數知識的運用，考查平面區域的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．