Question

15．如圖所示，在三棱錐A-BCD中，AB⊥平面BCD，M，N分別是AC，AD的中點，BC⊥CD．
（1）求異面直線MN與BC所成的角；
（2）求證：平面ACD⊥平面ABC．

Answer 1

分析 （1）利用三角形中位線定理可得MN∥CD，因此∠BCD是直線MN與BC所成的角．即可得出．
（2）由AB⊥平面BCD，可得AB⊥CD．而BC⊥CD，可得CD⊥面ABC．即可證明．

解答 解：（1）∵M，N分別是AC，AD的中點，∴MN∥CD．
∴∠BCD是直線MN與BC所成的角．
又∵BC⊥CD，
直線MN與BC所成的角為90°．
（2）證明：∵AB⊥平面BCD，CD?面BCD，
∴AB⊥CD．
而BC⊥CD，AB∩BC=B，
∴CD⊥面ABC．
又∵CD?面ACD，
平面ACD⊥平面ABC．

點評 本題考查了空間線面位置關系、空間角、三角形中位線定理、線面面面垂直的判定與性質定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．