Question

5．已知函數f（x）=xlnx，g（x）=$\frac{1}{8}$x²-x．
（1）求f（x）的單調區間和極值點；
（2）是否存在實數m，使得函數h（x）=$\frac{3f（x）}{4x}$+m+g（x）有三個不同的零點？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）對f（x）求導，根據導函數的零點來判斷f（x）的單調區間與極值點；
（2）使得函數h（x）=$\frac{3f（x）}{4x}$+m+g（x）有三個不同的零點，實質是轉換為求φ（x）=6lnx+8m+x²-8x的最小值、最大值與x軸的位置關系．

解答 解：（1）f'（x）=lnx+1，由f'（x）＞0，得x＞$\frac{1}{e}$； f'（x）＜0，得0＜x＜$\frac{1}{e}$，
所以f（x）在（0，$\frac{1}{e}$）上單調遞減，在（$\frac{1}{e}$，+∞）上單調遞增，故f（x）的極小值點為x=$\frac{1}{e}$；
 （2）假設存在實數m，使得函數h（x）=$\frac{3f（x）}{4x}+m+g（x）$有三個不同的零點，
即方程6lnx+8m+x²-8x=0有三個不等實根，令φ（x）=6lnx+8m+x²-8x，
φ'（x）=$\frac{6}{x}$+2x-8=$\frac{2（x-3）（x-1）}{x}$，
由φ'（x）＞0，得0＜x＜1 或 x＞3；
由φ'（x）＜0，得1＜x＜3，所以φ（x）在（0，1），（3，+∞）上單調遞增，（1，3）上單調遞減，
所以φ（x）的極大值為φ（1）=-7+8m，極小值為φ（3）=-15+6ln3+8m，要使方程6lnx+8m+x²-8x=0有三個不等實根，則函數φ（x）的圖象與x軸要有三個交點，根據φ（x）的圖象可知必須滿足
$\left\{\begin{array}{l}{-7+8m＞0}\\{-15+6ln3+8m＜0}\end{array}\right.$，解得$\frac{7}{8}＜m＜\frac{15}{8}-\frac{3}{4}ln3$，
所以存在實數m，使得方程$\frac{3f（x）}{4x}+m+g（x）=0$有三個不等實根，實數m的取值范圍是$（\frac{7}{8}，\frac{15}{8}-\frac{3ln3}{4}）$．

點評 本題主要考查了利用導數研究函數的單調性與極值，以及函數零點個數問題，屬中等題．