Question

給定區域D：

x+4y≥0 x+y≤4 x+y≥2 x≥0

，令點集T={（x₀，y₀）∈D|x₀，y₀∈Z}，（x₀，y）是z=x+y在D上取得最大值或最小值的點}，則T中的點最多能確定三角形的個數為（　　）

• A、15
• B、25
• C、28
• D、32

Answer 1

考點：簡單線性規劃的應用

專題：不等式的解法及應用

分析：作出不等式組對應的平面區域，求出z=x+y在D上取得最大值或最小值的點，利用數形結合即可得到結論．

解答： 解：作出不等式組對應的平面區域如圖中陰影部分所示，

因為直線z=x+y與直線x+y=4，直線x+y=2平行，所以
直線z=x+y過直線x+y=4上的整數點：（4，0），（3，1），（2，2），（1，3），（0，4）時，直線的縱截距最大，即z最大；直線z=x+y過
直線x+y=2上的整數點：（0，2），（1，1）時，直線的縱截距最小，
即z最小．所以滿足條件的點共有7個，則T中的點最多能確定三角形的個數為

C

3 7

-

C

3 5

=35-10=25（個），
故選：B

點評：本題是一道涉及線性規劃和組合數求解的綜合題．問題求解分兩步完成：第一步求出目標函數z=x+y在D上取得最大值或最小值的點；第二步計算T中的點最多能確定三角形的個數．在計算三角形個數時，注意排除三點共線的情形．