Question

（本小題滿分14分）已知圓：，直線.

（1）若直線與圓交于不同的兩點、，當=時，求的值.

（2）若，是直線上的動點，過作圓的兩條切線、，切點為、，探究：直線是否過定點；

（3）若、為圓：的兩條相互垂直的弦，垂足為（1，），求四邊形的面積的最大值.

Answer 1

（1）；（2）見解析；（3）

【解析】

試題分析：（1）易得點O到l的距離，利用點到直線的距離公式即可求出k；（2）利用O、P、C、D四點共圓求得其圓的方程，發現直線是圓與圓的公共弦所在的直線方程，兩式作差即可；（3）設圓心O到直線EF、GH的距離分別為.則所以

再用均值不等式即可求出最大值.

試題解析：（1）∵∠AOB=，∴點O到l的距離 2分

∴=· 4分

（2）由題意可知：O、P、C、D四點共圓且在以OP為直徑的圓上，設.

其方程為：

即

又C、D在圓O：上

∴ 即 7分

由 得

∴直線CD過定點 9分

（3）設圓心O到直線EF、GH的距離分別為.

則 11分

∴

∴

當且僅當 即 時，取“=”

∴四邊形EGFH的面積的最大值為． 14分

考點：圓的綜合應用