Question

如圖甲，⊙O的直徑AB＝2，圓上兩點C、D在直徑AB的兩側，且∠CAB＝，∠DAB＝.沿直徑AB折起，使兩個半圓所在的平面互相垂直(如圖乙)，F為BC的中點，E為AO的中點．根據圖乙解答下列各題：
 
(1)求三棱錐C－BOD的體積；
(2)求證：CB⊥DE；
(3)在上是否存在一點G，使得FG∥平面ACD？若存在，試確定點G的位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）（2）見解析（3）G為的中點

(1)∵C為圓周上一點，且AB為直徑，∴∠C＝，
∵∠CAB＝，∴AC＝BC，
∵O為AB的中點，∴CO⊥AB，
∵AB＝2，∴CO＝1.
∵兩個半圓所在平面ACB與平面ADB互相垂直且其交線為AB，
∴CO⊥平面ABD，∴CO⊥平面BOD.
∴CO就是點C到平面BOD的距離，
S_△BOD＝S_△ABD＝××1×＝，
∴V_C－BOD＝S_△BOD·CO＝××1＝.
(2)證明：在△AOD中，∵∠OAD＝，OA＝OD，
∴△AOD為正三角形，
又∵E為OA的中點，∴DE⊥AO，
∵兩個半圓所在平面ACB與平面ADB互相垂直且其交線為AB，
∴DE⊥平面ABC.
又CB?平面ABC，∴CB⊥DE.
(3)存在滿足題意的點G，G為的中點．證明如下：

連接OG，OF，FG，
易知OG⊥BD，
∵AB為⊙O的直徑，
∴AD⊥BD，
∴OG∥AD，
∵OG?平面ACD，AD?平面ACD，
∴OG∥平面ACD.
在△ABC中，O，F分別為AB，BC的中點，
∴OF∥AC，
∴OF∥平面ACD，
∵OG∩OF＝O，
∴平面OFG∥平面ACD.
又FG?平面OFG，∴FG∥平面ACD.