Question

已知函數f（x）=sin（ωx+φ）+b（ω＞0，-

π

2

＜φ＜

π

2

）相鄰兩對稱軸間的距離為

π

2

，若將f（x）的圖象先向左平移

π

12

個單位，再向下平移1個單位，所得的函數g（x）的為奇函數．
（1）求f（x）的解析式，并求f（x）的對稱中心；
（2）若關于x的方程3[g（x）]²+m•g（x）+2=0在區間[0，

π

2

]上有兩個不相等的實根，求實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（1）由周期求得ω，由函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律可得g（x）=sin（2x+

π

6

+φ）+b-1，再根據g（x）的為奇函數求得φ和b的值，可得f（x）和g（x）的解析式以及f（x）的對稱中心．
（2）由（1）可得 g（x）=sin2x，由題意可得可得關于t的方程 3t²+m•t+2=0在區間（0，1）上有唯一解．再利用二次函數的性質求得m的范圍．

解答： 解：（1）由題意可得

T

2

=

π

ω

=

π

2

，∴ω=2，f（x）=sin（2x+φ）+b，
∴g（x）=sin[2（x+

π

12

）+φ]+b-1=sin（2x+

π

6

+φ）+b-1．
再結合函數g（x）的為奇函數，可得

π

6

+φ=kπ，k∈z，且b-1=0，
再根據-

π

2

＜φ＜

π

2

，可得φ=-

π

6

，b=1，∴f（x）=sin（2x-

π

6

）+1，g（x）=sin2x．
令2x-

π

6

=nπ，n∈z，可得 x=

nπ

2

+

π

12

，∴f（x）的對稱中心（

nπ

2

+

π

12

，1）．
（2）由（1）可得 g（x）=sin2x，在區間[0，

π

2

]上，2x∈[0，π]，
令t=g（x），則t∈[0，1]．
由關于x的方程3[g（x）]²+m•g（x）+2=0在區間[0，

π

2

]上有兩個不相等的實根，
可得關于t的方程 3t²+m•t+2=0在區間（0，1）上有唯一解．
令h（t）=3t²+m•t+2，∵h（0）=2＞0，則滿足h（1）=3+m+2＜0，或

△=m2-24=0 0＜- m 6 ＜1

，
求得m＜-5，或 m=-2

6

．

點評：本題主要考查由函數y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律，正弦函數的圖象的對稱性，二次函數的性質，體現了轉化的數學思想，屬于基礎題．