Question

13．已知函數f（x）=log_a（2^x-3）（a＞0且a≠1），
（1）求f（x）函數的定義域；
（2）求使f（x）＞0成立的x的取值范圍；
（3）當x∈[2，5]，求f（x）函數的值域．

Answer 1

分析 （1）求定義域只有滿足2^x-3＞0即可；
（2）分a＞1或0＜a＜1來分別求解，
（3）根據x的取值范圍，先求2^x-3的取值范圍，然后在討論a求函數的值域．

解答 解：（1）要使f（x）=log_a（2^x-3）有意義，只要
2^x-3＞0，解得x＞log₂3，
故f（x）的定義域為（log₂3，+∞）；
（2）當a＞1時，有2^x-3＞1，解得x＞2；
當0＜a＜1時，有0＜2^x-3＜1，解得log₂3＜x＜2；
（3）當x∈[2，5]時，
∴1≤2^x-3≤29，
當a＞1時，f（x）函數的值域為：[0，log_a29]，
當0＜a＜1時，f（x）函數的值域：[log_a29，0]

點評 本題主要考查函數的定義域，函數的性質，屬于中檔題．