Question

3．我縣2014年末汽車保有量為2萬輛，預計此后每年報廢上年末汽車保有量的5%，并且每年新增汽車數量相同，為保護全縣環境，緩解交通壓力，要求我縣汽車保有量不超過5萬輛，那么每年新增汽車數量不應超過多少輛？

Answer 1

分析 設每年新增汽車為x萬輛，從2014年起該城市第n年末的汽車保有量為a_n，依題意可知b₁=30，根據題意{a_n-20x}是以0.95為公比，以2-20x為首項的等比數列，判斷出數列的單調性，然后利用數列的極限求得問題的答案．

解答 解：設每年新增汽車為x萬輛，從2014年起該城市第n年末的汽車保有量為a_n
則a_n=（1-5%）a_n-1+x=0.95a_n-1+x（n≥2），即a_n-20x=0.95（a_n-1-20x）
∴{a_n-20x}是以0.95為公比，以2-20x為首項的等比數列
∴$a{\;}_n-20x=（2-20x）•{0.95^{n-1}}$，即${a_n}=20x+（2-20x）•{0.95^{n-1}}$…（7分）
（1）當2-20x≥0即x≤0.1時，a_n≤a_n-1≤…≤a₁=2
（2）當2-20x＜0即x＞0.1時，數列{a_n}為遞增數列，且n→+∞時，a_n→20x
由題20x≤5，即x≤0.25（萬輛）…（11分）
綜上，每年新增汽車不應超過0.25萬輛．…（12分）

點評 本題主要考查了數列的應用，以及數列與不等式的綜合．考查了學生綜合分析問題和解決問題的能力．