Question

19．已知集合M={x|x²-3x-18≤0]，N={x|1-a≤x≤2a+1}．
（1）若a=3，求M∩N和∁_RN；
（2）若M∩N=N，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）a=3時，先分別求出M、N，由此能求出M∩N和∁_RN．
（2）由M∩N=N，知N?M，由此根據N=∅和N≠∅兩種情況分類討論，能求出實數a的取值范圍．

解答 解：（1）∵集合M={x|x²-3x-18≤0}，N={x|1-a≤x≤2a+1}．
∴a=3時，M={x|-3≤x≤6}，N={x|-2≤x≤7}，
∴M∩N={x|-2≤x≤6}，
∁_RN={x|x＜-2或x＞7}．
（2）∵M∩N=N，∴N?M，
∴當N=∅時，1-a＞2a+1，解得a＜0，成立；
當N≠∅時，$\left\{\begin{array}{l}{1-a≥-3}\\{2a+1≤6}\\{1-a＜2a+1}\end{array}\right.$，解得0＜a≤$\frac{5}{2}$．
綜上，實數a的取值范圍是（-∞，0）∪（0，$\frac{5}{2}$]．

點評 本題考查交集、補集的求法，考查實數的取值范圍的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意交集、補集、子集定義的合理運用．