Question

8．已知集合M是滿足下列性質的函數f（x）的全體：在定義域內存在實數t，使得f（t+2）=f（t）+f（2）．
（1）判斷f（x）=3x+2是否屬于集合M，并說明理由；
（2）若$f（x）=lg\frac{a}{{{x^2}+2}}$屬于集合M，求實數a的取值范圍；
（3）若f（x）=2^x+bx²，求證：對任意實數b，都有f（x）∈M．

Answer 1

分析 （1）利用f（x）=3x+2，通過f（t+2）=f（t）+f（2）推出方程無解，說明f（x）=3x+2不屬于集合M．　　（2）由$f（x）=lg\frac{a}{{{x^2}+2}}$屬于集合M，推出$lg\frac{a}{{{{（x+2）}^2}+2}}=lg\frac{a}{{{x^2}+2}}+lg\frac{a}{6}$有實解，即（a-6）x²+4ax+6（a-2）=0有實解，若a=6時，若a≠6時，利用判斷式求解即可．
（3）當f（x）=2^x+bx²時，方程f（x+2）=f（x）+f（2）?3×2^x+4bx-4=0，令g（x）=3×2^x+4bx-4，則g（x）在R上的圖象是連續的，當b≥0時，當b＜0時，判斷函數是否有零點，證明對任意實數b，都有f（x）∈M．

解答 解：（1）當f（x）=3x+2時，方程f（t+2）=f（t）+f（2）?3t+8=3t+10…（2分）
此方程無解，所以不存在實數t，使得f（t+2）=f（t）+f（2），
故f（x）=3x+2不屬于集合M．　　　　　　　　　　  …（4分）
（2）由$f（x）=lg\frac{a}{{{x^2}+2}}$屬于集合M，可得
方程$lg\frac{a}{{{{（x+2）}^2}+2}}=lg\frac{a}{{{x^2}+2}}+lg\frac{a}{6}$有實解?a[（x+2）²+2]=6（x²+2）有實解?（a-6）x²+4ax+6（a-2）=0有實解，…（7分）
若a=6時，上述方程有實解；
若a≠6時，有△=16a²-24（a-6）（a-2）≥0，解得$12-6\sqrt{3}≤a≤12+6\sqrt{3}$，
故所求a的取值范圍是$[12-6\sqrt{3}，12+6\sqrt{3}]$．　　　    …（10分）
（3）當f（x）=2^x+bx²時，方程f（x+2）=f（x）+f（2）?2^x+2+b（x+2）²=2^x+bx²+4+4b?3×2^x+4bx-4=0，…（12分）
令g（x）=3×2^x+4bx-4，則g（x）在R上的圖象是連續的，
當b≥0時，g（0）=-1＜0，g（1）=2+4b＞0，故g（x）在（0，1）內至少有一個零點；
當b＜0時，g（0）=-1＜0，$g（\frac{1}{b}）=3×{2^{\frac{1}{b}}}＞0$，故g（x）在$（\frac{1}{b}，0）$內至少有一個零點；
故對任意的實數b，g（x）在R上都有零點，即方程f（x+2）=f（x）+f（2）總有解，
所以對任意實數b，都有f（x）∈M．                       …（16分）

點評 本題考查抽象函數的應用，函數的零點以及方程根的關系，考查轉化思想以及計算能力．