Question

15．平面直角坐標系xoy中，直線l的參數方程是$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}+tcos\frac{π}{4}\\ y=tsin\frac{π}{4}\end{array}$（t為參數），以射線ox為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程是$\frac{{{ρ^2}{{cos}^2}θ}}{4}$+ρ²sin²θ=1．
（1）求曲線C的直角坐標方程；
（2）求直線l與曲線C相交所得的弦AB的長．

Answer 1

分析 （1）曲線C的極坐標方程是$\frac{{{ρ^2}{{cos}^2}θ}}{4}$+ρ²sin²θ=1，把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得直角坐標方程．．
（2）直線l的參數方程是$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}+tcos\frac{π}{4}\\ y=tsin\frac{π}{4}\end{array}$（t為參數），即$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$，代入橢圓方程可得：$5{t}^{2}+2\sqrt{6}t$-2=0，利用|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$即可得出．

解答 解：（1）曲線C的極坐標方程是$\frac{{{ρ^2}{{cos}^2}θ}}{4}$+ρ²sin²θ=1，把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
（2）直線l的參數方程是$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}+tcos\frac{π}{4}\\ y=tsin\frac{π}{4}\end{array}$（t為參數），即$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$，代入橢圓方程可得：$5{t}^{2}+2\sqrt{6}t$-2=0，
∴t₁+t₂=$-\frac{2\sqrt{6}}{5}$，t₁•t₂=-$\frac{2}{5}$，∴|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{（-\frac{2\sqrt{6}}{5}）^{2}-4×（-\frac{2}{5}）}$=$\frac{8}{5}$．

點評 本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程、參數方程的應用、一元二次方程的根與系數的關系、弦長公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．