Question

【題目】如圖1所示，在矩形中，，，為中點，將沿折起，使點到點處，且平面平面，如圖2所示.

（1）求證：：

（2）在棱上取點，使平面平面，求平面與所成銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）余弦值為.

【解析】

(1)在矩形中,連接交于點,則由可推出,因此有,故在翻折后的四棱錐中,有,據(jù)此推出平面,從而有;

(2)以點為原點,方向為軸的正方向建立空間直角坐標系,再過點作于點,由平面平面可推出平面,即有,結(jié)合,可知平面,即,設(shè),再結(jié)合可求出,最后再利用空間向量法求二面角的余弦值即可.

(1)在矩形中,連接交于點,

由題知,,,

所以,即,

又,所以,

所以,即,

故在翻折后的四棱錐中,有,

又,所以平面,

又平面,所以;

(2)如圖所示,以點為原點,方向為軸的正方向建立空間直角坐標系,

在矩中,經(jīng)計算可得,

因此,

過點作于點,

因為平面平面,平面平面,

所以平面,所以,

又由(1)知,且,

所以平面,

所以,即有,

因為點在上,設(shè),則,

由解得,即,

設(shè)平面的一個法向量為,

,

由,

令,即,

又平面的一個法向量為,

所以,

所以平面與所成銳二面角的余弦值為.