Question

20．已知x，y∈R⁺且x+y=4，則使不等式$\frac{1}{x}+\frac{4}{y}$≥m恒成立的實數(shù)m的取值范圍為（　　）

• A． （2，+∞）
• B． （-∞，$\frac{7}{4}$]
• C． （3，+∞）
• D． （-∞，$\frac{9}{4}$]

Answer 1

分析 由題意將x+y=4代入（$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$）進行恒等變形和拆項后，再利用基本不等式求出它的最小值，根據(jù)不等式恒成立求出m的范圍

解答 解：由題意知兩個正數(shù)x，y滿足x+y=4，
則$\frac{1}{x}+\frac{4}{y}$=$\frac{1}{4}$（x+y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$）=$\frac{1}{4}$（1+4+$\frac{y}{x}$+$\frac{4x}{y}$）≥$\frac{1}{4}$（5+2$\sqrt{\frac{y}{x}•\frac{4x}{y}}$）=$\frac{9}{4}$，當且僅當x=$\frac{4}{3}$，y=$\frac{8}{3}$時取等號，
∴m≤$\frac{9}{4}$，
故選：D

點評 本題考查了利用基本不等式求最值和恒成立問題，利用條件進行整體代換和合理拆項再用基本不等式求最值，注意一正二定三相等的驗證．