Question

1．已知函數y=f（x）（x∈R）的圖象過點（1，0），f'（x）是函數f（x）的導函數，e為自然對數的底數，若x＞0時，xf'（x）＞1恒成立，則不等式f（x）≤lnx的解集是（0，1]．

Answer 1

分析 構造函數g（x）=f（x）-lnx（x＞0），確定g（x）=f（x）-lnx在（0，+∞）上單調遞增，f（x）≤lnx，化為g（x）≤0=g（1），即可得出結論．

解答 解：構造函數g（x）=f（x）-lnx（x＞0），
則g′（x）=f′（x）-$\frac{1}{x}$=$\frac{xf′（x）-1}{x}$＞0，
∴g（x）=f（x）-lnx在（0，+∞）上單調遞增，
∵f（x）≤lnx，
∴g（x）≤0=g（1），
∴0＜x≤1，
故答案為：（0，1]．

點評 本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，正確構造函數是關鍵．