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15.如圖,已知OPQ是半徑為1,圓心角為$\frac{π}{3}$的扇形,C是扇形弧上的動點,四邊形ABCD是扇形的內接矩形,記∠COP=α,矩形的面積為S;
(1)求出S與α的函數關系式,并指出α的取值范圍;
(2)求S最大值.

分析 (1)先把矩形的各個邊長用角α表示出來,進而表示出矩形的面積,即可得解;
(2)利用三角函數恒等變換的應用化簡后,再利用角α的范圍,結合正弦函數的性質可求矩形面積的最大值即可.

解答 (本小題滿分12分)
解:(1)在直角△OBC中,BC=sinα,OB=cosα,…(1分)
在直角△OAD中,$\frac{DA}{OA}=tan\frac{π}{3}=\sqrt{3}$,…(2分)
所以$OA=\frac{{\sqrt{3}}}{3}DA=\frac{{\sqrt{3}}}{3}BC=\frac{{\sqrt{3}}}{3}sinα$,…(3分)
所以$AB=OB-OA=cosα-\frac{{\sqrt{3}}}{3}sinα$,…(4分)
所以矩形ABCD的面積$S=AB×BC=(cosα-\frac{{\sqrt{3}}}{3}sinα)•sinα$,$(0<α<\frac{π}{3})$…(6分)
(2)由$S=AB×BC=(cosα-\frac{{\sqrt{3}}}{3}sinα)•sinα=sinαcosα-\frac{{\sqrt{3}}}{3}{sin^2}α$=$\frac{1}{2}sin2α-\frac{{\sqrt{3}}}{3}×\frac{1-cos2α}{2}=\frac{1}{2}sin2α+\frac{{\sqrt{3}}}{6}cos2α-\frac{{\sqrt{3}}}{6}$…(8分)
=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}(\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2α+\frac{1}{2}cos2α)-\frac{{\sqrt{3}}}{6}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}sin(2α+\frac{π}{6})-\frac{{\sqrt{3}}}{6}$,…(10分)
∵$0<α<\frac{π}{3}$,
∴$當2α+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}時$,即$α=\frac{π}{6}時$,矩形ABCD的面積S取得最大值為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}-\frac{{\sqrt{3}}}{6}=\frac{{\sqrt{3}}}{6}$.…(12分)

點評 本題考查在實際問題中建立三角函數模型,求解問題的關鍵是根據圖形建立起三角模型,將三角模型用所學的恒等式變換公式進行化簡,考查了轉化思想和數形結合思想,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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