Question

6．已知函數f（x）=x³+3x²-5（x∈R）的圖象為曲線C．
（Ⅰ）當x∈[-2，1]時，求過曲線C上任意一點切線斜率的取值范圍；
（Ⅱ）求垂直于直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}+\frac{3\sqrt{10}}{10}t}\\{y=\frac{1}{3}+\frac{\sqrt{10}}{10}t}\end{array}\right.$（t為參數）并且與曲線C相切的直線方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當x∈[-2，1]時，求導數，求出最值，即可求過曲線C上任意一點切線斜率的取值范圍；
（Ⅱ）求出切線斜率，切點坐標，即可得出結論．

解答 解：（Ⅰ）f'（x）=3x²+6x，對稱軸x=-1…（2分）
x∈[-2，1]時，f′（x）_min=-3，f′（x）_max=9…（4分）
∴當x∈[-2，1]時，過曲線C上任意一點切線斜率的取值范圍為[-3，9]…（6分）
（Ⅱ）直線l方程可化為：2x-6y+1=0，…（8分）
設切點P（a，b），y'=3x²+6x，切線斜率k=3a²+6a=-3…（10分）
∴a=-1，b=-3，即P（-1，-3），
∴所求切線方程為：3x+y+6=0…（12分）

點評 本題考查導數的幾何意義，考查參數方程，考查學生的計算能力，屬于中檔題．