Question

17．若定義在R上的可導函數f（x）的導函數為f′（x），在R上滿足f′（x）＞f（x），且y=f（x-3）為奇函數，f（-6）=-3，則不等式f（x）＜3e^x的解集為（　　）

• A． （0，+∞）
• B． （-3，+∞）
• C． （-∞，0）
• D． （-∞，6）

Answer 1

分析 首先構造函數g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，研究g（x）的單調性，結合原函數的性質和函數值，即可求得不等式f（x）＜3e^x的解集．

解答 解：∵y=f（x-3）為奇函數，
∴f（0）=f（3-3）=-f（-3-3）=-f（-6）=3
設g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$（x∈R），
則g′（x）=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$，
又∵f′（x）＞f（x），
∴f′（x）-f（x）＞0，
∴g′（x）＞0．
∴y=g（x）單調遞增．
由f（x）＜3e^x．
即g（x）＜3．
又∵g（0）=$\frac{f（0）}{{e}^{0}}$=3，
∴g（x）＜g（0）
∴x＜0．
故選：B

點評 本題首先須結合已知條件構造函數，然后考察用導數判斷函數的單調性，再由函數的單調性和函數值的大小關系，判斷自變量的大小關系，屬于中檔題．