Question

3．已知四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠ABC=90°，AD∥BC，SA=AB=BC=2，AD=1，SA⊥底面ABCD．
（1）求四棱錐S-ABCD的體積；
（2）求異面直線SC與AD所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）先求出S_梯形ABCD，由此能求出四棱錐S-ABCD的體積．
（2）以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AS為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出異面直線SC與AD所成角的余弦值．

解答 解：（1）∵四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，
∠ABC=90°，AD∥BC，SA=AB=BC=2，AD=1，SA⊥底面ABCD，
∴S_梯形ABCD=$\frac{1}{2}$（1+2）×2=3，
∴四棱錐S-ABCD的體積V=$\frac{1}{3}×{S}_{梯形ABCD}×SA$=$\frac{1}{3}×3×2$=2．
（2）以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AS為z軸，建立空間直角坐標系，
C（2，2，0），S（0，0，2），A（0，0，0），D（0，1，0），
$\overrightarrow{SC}$=（2，2，-2），$\overrightarrow{AD}$=（0，1，0），
設異面直線SC與AD所成角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{SC}•\overrightarrow{AD}|}{|\overrightarrow{SC}|•|\overrightarrow{AD}|}$=$\frac{2}{\sqrt{12}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴異面直線SC與AD所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查四棱錐的體積的求法，考查異面直線所成角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．