Question

已知函數(shù)f（x）=asinx+cosx-1的最大值是0．
（1）求證：a=0；
（2）若f（x+

π

4

）=-

1

3

，求sin2x的值．

Answer 1

考點：同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）利用輔角公式化簡解析式可得f（x）=

a2+1

sin（x+φ）-1，其中tanφ=

1

a

，由已知即可求a的值為0．
（2）由（1）可得f（x）=cosx-1，從而由已知可解得cosx-sinx=

2 2

3

，即可求得sin2x的值．

解答： 解：（1）∵f（x）=asinx+cosx-1=

a2+1

sin（x+φ）-1，其中tanφ=

1

a

，
∵函數(shù)f（x）=asinx+cosx-1的最大值是0．
∴

a2+1

=1，即可解得a=0．
（2）由（1）可得f（x）=cosx-1
∴f（x+

π

4

）=cos（x+

π

4

）-1=-

1

3

，可解得cosx-sinx=

2 2

3

，
∴兩邊平方可得：1-sin2x=

8

9

，
∴sin2x=

1

9

．

點評：本題主要考察了同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用，合理應(yīng)用輔角公式化簡是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．