Question

3．已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)P是拋物線C上一點(diǎn)，過(guò)P作PM⊥l，垂足為M，記$N（{\frac{7p}{2}，0}），PF$與MN交于點(diǎn)T，若|NF|=2|PF|，且△PNT的面積為$3\sqrt{2}$，則p=（　�。�

• A． $\sqrt{3}$
• B． 2
• C． $\sqrt{5}$
• D． $\sqrt{6}$

Answer 1

分析 由NF|=2|PF|，${x}_{P}+\frac{p}{2}=\frac{3p}{2}$得x_P=p，
由$\frac{PM}{NF}=\frac{PT}{TF}=\frac{1}{2}$，得s_△NPT：s_△NFT=1：2，由${s}_{△NPF}=\frac{1}{2}×NF×{y}_{P}=9\sqrt{2}$，得$\frac{1}{2}×3p×{y}_{P}=9\sqrt{2}$，${y}_{P}=\frac{6\sqrt{2}}{p}$，點(diǎn)P在拋物線y²=2px（p＞0）上，即$\frac{72}{{p}^{2}}=2p×p$，解得p．

解答 解：如圖所示，NF=$\frac{7p}{2}-\frac{p}{2}=3p$
∵|NF|=2|PF|，∴PM=PF=$\frac{3p}{2}$，由${x}_{P}+\frac{p}{2}=\frac{3p}{2}$得x_P=p
∵PM∥NF，∴$\frac{PM}{NF}=\frac{PT}{TF}=\frac{1}{2}$，∴s_△NPT：s_△NFT=1：2，
∵△PNT的面積為$3\sqrt{2}$，∴△PNF的面積為3×$3\sqrt{2}$=9$\sqrt{2}$
由${s}_{△NPF}=\frac{1}{2}×NF×{y}_{P}=9\sqrt{2}$，得$\frac{1}{2}×3p×{y}_{P}=9\sqrt{2}$，${y}_{P}=\frac{6\sqrt{2}}{p}$
∵$P（p，\frac{6\sqrt{2}}{p}）$在拋物線y²=2px（p＞0）上，
即$\frac{72}{{p}^{2}}=2p×p$，解得p=$\sqrt{6}$．
故選：D

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線的方程、性質(zhì)，考查了轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．