Question

12．設f（x）為偶函數，在[0，+∞）是單調函數，則滿足f（2x）=f（$\frac{x+1}{x+4}$）的所有x之和為（　　）

• A． 8
• B． 9
• C． -8
• D． -9

Answer 1

分析 f（x）為偶函數推出f（-x）=f（x），x＞0時f（x）是單調函數，推出f（x）不是周期函數．所以若f（a）=f（b）⇒a=b或a=-b，再利用根與系數的關系進行求解；

解答 解：∵f（x）為偶函數，
∴（2x）=f（-2x）
∵當x＞0時f（x）是單調函數，
又滿足f（2x）=f（$\frac{x+1}{x+4}$），
∴2x=$\frac{x+1}{x+4}$，或-2x=$\frac{x+1}{x+4}$，
可得，2x²+7x-1=0或2x²+9x+1=0，兩個方程都有解．
∴x₁+x₂=$-\frac{7}{2}$或x₃+x₄=-$\frac{9}{2}$，
∴x₁+x₂+x₃+x₄=-8，
故選C

點評 本題主要函數奇偶性和單調性的性質，考查了函數的單調性和奇偶性與方程根的聯系，屬于函數性質的綜合應用．